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Análise combinatória no Enem: como se preparar para a prova

Por Redação   | 

 Tag: Enem

A determinação de grupos, a combinação de fatores, a randomização de valores e o desenvolvimento de sorteios são atividades que contemplam teorias matemáticas e fazem parte de um ramo da matemática que se chama análise combinatória.

É muito importante entender como esse campo de estudos é abordado no Enem para se dar bem no segundo dia de Exame, quando são aplicadas as provas de Matemática e Ciências da Natureza.

Afinal, análise combinatória está entre os 10 assuntos de Matemática que mais apareceram no Exame nos últimos anos, segundo levantamento do Sistema de Ensino Poliedro. Ela também é indispensável para resolver questões de genética.

Neste resumo, você vai conhecer conceitos de análise combinatória e também alguns exemplos de questões para se preparar para a prova. Confira:

  1. O que é análise combinatória
  2. O princípio fundamental da contagem
  3. O que cai de análise combinatória no Enem
  4. Exercício sobre análise combinatória para praticar
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O que é análise combinatória

A análise combinatória é o ramo da matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.

Ela é muito utilizada nos estudos sobre probabilidade e tem como função encontrar todos os agrupamentos possíveis dentro de um conjunto por meio de condições pré-determinadas.

A análise combinatória possui várias aplicações, como no estudo da genética ou até mesmo na elaboração de senhas e sistemas de segurança, que analisam as combinações possíveis para maior proteção.

O princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem, conhecido também como princípio multiplicativo, é a base para os cálculos envolvendo contagem de reagrupamentos.

Ainda que existam fórmulas específicas para calcular alguns casos de agrupamentos, elas surgem desse princípio, que diz o seguinte:

Se uma decisão a pode ser tomada de n formas e uma decisão b pode ser tomada de m formas, e essas decisões são independentes, então o número de combinações possíveis entre essas duas decisões é calculado pela multiplicação n · m.

A aplicação do princípio fundamental da contagem é bastante simples quando o estudante compreende bem a situação proposta.

Mas é importante ficar atento à interpretação do problema, o que faz com que seja o fator que dificulte a resolução destas questões e não somente a resolução do cálculo em si.

O que cai de análise combinatória no Enem

Os temas mais recorrentes sobre análise combinatória no Enem são: combinação, arranjo e permuta. Entenda melhor cada um desses tópicos a seguir.

1. Combinação

A combinação é um agrupamento que está ligado a subconjuntos de um conjunto. Entendemos como combinação de n, tomados de p em p, a contagem de todos os subconjuntos possíveis com p elementos de n.

A diferença entre a combinação e o arranjo é que, na combinação, a ordem não é importante, então os conjuntos {A,B,C} e {C,A,B} são a mesma coisa.

Para calcular a combinação, utilizamos a fórmula:

3-combinacao

Exemplo:

Para comemorar o sucesso em vendas de uma corretora de imóveis, a empresa decidiu sortear, entre os 10 funcionários que mais venderam, 4 deles para viajarem para a cidade de Caldas Novas-GO, com a sua família e todas as despesas pagas. Quantos resultados distintos podemos ter com esse sorteio?

4-exemplo-combinacao

2. Arranjo

Arranjos são os agrupamentos ordenados formados por parte dos elementos de um conjunto.

Dado um conjunto de n elementos, pretendemos saber quantos agrupamentos ordenados podemos formar com elementos p, sendo p sempre menor que n.

É importante perceber a diferença entre o arranjo e a permutação: em ambos a ordem é importante, mas, na permutação, são agrupados todos os elementos do conjunto. No arranjo, são agrupados apenas parte desses elementos.

A fórmula para calcular o arranjo é a seguinte:

1-arranjo

3. Permuta

A permutação é uma técnica de contagem utilizada para determinar a mudança de posição dos elementos do grupo, formando nova organização.

Fazer uma permuta é realizar uma troca e, nos problemas de combinatória, significa trocar os elementos de lugar, considerando a ordenação desses.

A permutação é subdividida em simples e com repetição.

Permutação simples

Quando os elementos do grupo são distintos e, assim, não é gerada repetição. O cálculo matemático é representado pela fórmula:

Pn = n!

Exemplo:

De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem formar uma fila? 

  • P6 = 6! 
  • 6.5.4.3.2.1 = 720

Resposta: existem 720 possibilidades diferentes. 

Permutação com repetição 

A permutação com repetição acontece quando os elementos apresentam repetição. Para calcular a permutação utiliza-se a fórmula abaixo: 

Permutação com repetição

Onde:

  • a = alfa
  • ß = beta
  • g = gama

As letras gregas indicam o número de vezes que as letras se repetem.

Vamos praticar o conceito com um exemplo. No anagrama da palavra “matemática” tem-se a repetição das letras M, A, T.

A resolução da permutação será assim: 

Texto

Descrição gerada automaticamenteTexto

Descrição gerada automaticamente

Onde:

  • P 10 = permutação de dez letras: M A T E M A T I C A
  • P 2,3,2= repetição de dois “M”, três “A” e dois “T”
  • 10! = Fatorial do total
  • 2! = Fatorial da repetição do “M”
  • 3! = Fatorial da repetição do “A”
  • 2! = Fatorial: número de vezes “T”

Exercício sobre análise combinatória para praticar

Veja uma questão do Enem resolvida pelo Projeto Agatha para você entender melhor os conceitos:

Uma filial de uma empresa de consórcio decidiu selecionar dois funcionários para irem até a matriz conhecer o novo sistema voltado para o departamento de contemplação de consórcios. Para isso, o gerente decidiu realizar um sorteio entre os 8 funcionários do departamento, a fim de decidir quais participariam dessa formação. Sabendo disso, o número de resultados possíveis para esse torneiro é:

  1. 42
  2. 56
  3. 20
  4. 25
  5. 28

✅ Gabarito: E

Note que esse é um problema de combinação, pois a ordem não é importante e estamos selecionando parte do conjunto.

Vamos calcular a combinação de 8 tomados de dois em dois:

Forma

Descrição gerada automaticamente com confiança baixa

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